Grátis: Problema 72: Determine a derivada da função \(f(x) = \ln(x^5 + 1)\). A) \(\frac{5x^4}{x^5 + 1}\) B) \(\frac{1}{x^5 + 1}\) C) \(\frac{5}{x^5 + 1}\)...

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Problema 72: Determine a derivada da função \(f(x) = \ln(x^5 + 1)\).

A) \(\frac{5x^4}{x^5 + 1}\)
B) \(\frac{1}{x^5 + 1}\)
C) \(\frac{5}{x^5 + 1}\)
D) \(\frac{5x^4}{(x^5 + 1)^2}\)

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Para determinar a derivada da função \(f(x) = \ln(x^5 + 1)\), vamos usar a regra da cadeia. 1. A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot u'\), onde \(u = x^5 + 1\). 2. Primeiro, encontramos \(u' = \frac{d}{dx}(x^5 + 1) = 5x^4\). 3. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^5 + 1} \cdot 5x^4 = \frac{5x^4}{x^5 + 1} \] Analisando as alternativas: A) \(\frac{5x^4}{x^5 + 1}\) - Correta. B) \(\frac{1}{x^5 + 1}\) - Incorreta. C) \(\frac{5}{x^5 + 1}\) - Incorreta. D) \(\frac{5x^4}{(x^5 + 1)^2}\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{5x^4}{x^5 + 1}\).

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