Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^8 + 1} \, dx\), podemos usar a substituição e algumas propriedades de integrais. A integral \(\int \frac{1}{x^8 + 1} \, dx\) pode ser resolvida utilizando a substituição \(u = x^4\), o que nos leva a \(du = 4x^3 \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{4u^{3/4}}\). Assim, a integral se transforma em: \[ \int \frac{1}{u^2 + 1} \cdot \frac{du}{4u^{3/4}} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du \] A integral \(\int \frac{1}{u^2 + 1} \, du\) é conhecida e resulta em \(\tan^{-1}(u)\). Portanto, temos: \[ \frac{1}{4} \tan^{-1}(u) + C = \frac{1}{4} \tan^{-1}(x^4) + C \] Assim, a alternativa correta é: B) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x^4) + C\)