Para resolver a equação diferencial \( y'' - 4y = 0 \), começamos encontrando a equação característica associada, que é dada por: \[ r^2 - 4 = 0 \] Resolvendo essa equação, obtemos: \[ r^2 = 4 \] \[ r = \pm 2 \] As raízes são \( r_1 = 2 \) e \( r_2 = -2 \). Com isso, a solução geral da equação diferencial é dada pela combinação linear das funções exponenciais associadas às raízes: \[ y = A e^{2x} + B e^{-2x} \] Analisando as alternativas: A) \( y = A e^{2x} + B e^{-2x} \) - Correta. B) \( y = A e^{4x} + B e^{-4x} \) - Incorreta. C) \( y = A \cos(2x) + B \sin(2x) \) - Incorreta (aplicável a equações com raízes complexas). D) \( y = A e^{x} + B e^{-x} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) y = A e^{2x} + B e^{-2x}.