contas de aula ALQDBM

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A) \( y = \frac{4}{C - x} \) 
B) \( y = 2 \tan(x + C) \) 
C) \( y = 2e^{2x} + C \) 
D) \( y = 4 - Ce^{2x} \) 
**Resposta:** A) \( y = \frac{4}{C - x} \) 
**Explicação:** Separando variáveis e integrando, obtemos a solução. 
 
**34.** Encontre a função inversa de \( f(x) = x^3 - 2 \). 
A) \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 2} \) 
B) \( f^{-1}(x) = x^3 + 2 \) 
C) \( f^{-1}(x) = x^{1/3} - 2 \) 
D) \( f^{-1}(x) = x^{1/3} + 2 \) 
**Resposta:** A) \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 2} \) 
**Explicação:** Resolvendo para \( x \) em termos de \( y \), obtemos a função inversa. 
 
**35.** Calcule \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \). 
A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
B) \( -\tan^{-1}(x) + C \) 
C) \( \sin^{-1}(x) + C \) 
D) \( \frac{1}{x} + C \) 
**Resposta:** A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
**Explicação:** Esta integral resulta na função arco-tangente. 
 
**36.** Calcule o determinante da matriz \( C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} 
\). 
A) \( 0 \) 
B) \( 1 \) 
C) \( -1 \) 
D) \( 2 \) 
**Resposta:** A) \( 0 \) 
**Explicação:** O determinante é \( ad - bc = (1)(1) - (1)(1) = 0 \). 
 
**37.** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{5} \) 
B) \( \frac{1}{6} \) 
C) \( 0 \) 
D) \( \frac{1}{12} \) 
**Resposta:** C) \( 0 \) 
**Explicação:** A integral se simplifica a zero, pois a função é simétrica em torno de 0. 
 
**38.** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
A) \( 2 \) 
B) \( 1 \) 
C) \( 0 \) 
D) \( e \) 
**Resposta:** A) \( 2 \) 
**Explicação:** Este é um limite fundamental que resulta em 2. 
 
**39.** Resolva a equação \( y'' + 4y' + 4y = 0 \). 
A) \( y = Ae^{-2x} + Be^{-2x} \) 
B) \( y = A e^{-2x} + B e^{2x} \) 
C) \( y = A e^{2x} + B e^{-2x} \) 
D) \( y = A e^{-x} + B e^{x} \) 
**Resposta:** A) \( y = Ae^{-2x} + Be^{-2x} \) 
**Explicação:** A equação característica tem uma raiz dupla. 
 
**40.** Calcule a integral \( \int (4x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
A) \( x^4 - x^2 + x + C \) 
B) \( x^4 - x^2 + 2x + C \) 
C) \( x^4 - x^2 + 4x + C \) 
D) \( 2x^4 - x^2 + x + C \) 
**Resposta:** A) \( x^4 - x^2 + x + C \) 
**Explicação:** A integral é calculada aplicando a regra da potência. 
 
**41.** Encontre o valor de \( \int_0^1 (1 - x^3) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{4} \) 
B) \( \frac{3}{4} \) 
C) \( \frac{1}{3} \) 
D) \( \frac{2}{3} \) 
**Resposta:** B) \( \frac{3}{4} \) 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ x - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^1 = 
\frac{3}{4} \). 
 
**42.** Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{7x^4 + 2}{5x^4 + 3} \). 
A) \( \frac{7}{5} \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** A) \( \frac{7}{5} \) 
**Explicação:** Dividimos todos os termos por \( x^4 \) e analisamos o comportamento 
quando \( x \to \infty \). 
 
**43.** Resolva a equação \( y'' - 4y = 0 \). 
A) \( y = A e^{2x} + B e^{-2x} \) 
B) \( y = A e^{4x} + B e^{-4x} \) 
C) \( y = A \cos(2x) + B \sin(2x) \) 
D) \( y = A e^{x} + B e^{-x} \) 
**Resposta:** A) \( y = A e^{2x} + B e^{-2x} \) 
**Explicação:** A equação característica tem raízes reais. 
 
**44.** Calcule a integral \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
A) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
B) \( x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \) 
C) \( \frac{5}{5}x^5 - x^3 + 2x + C \)