Resolva a equação z^4 + 1 = 0. a) e^{iπ/4}, e^{i3π/4}, e^{i5π/4}, e^{i7π/4} b) i, -i c) 0, 1 d) 1/√2 + 1/√2i

Para resolver a equação \( z^4 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -1 \). Sabemos que \( -1 \) pode ser representado na forma exponencial como \( e^{i\pi} \). Assim, podemos escrever: \[ z^4 = e^{i\pi} \] Para encontrar as raízes quartas de \( -1 \), usamos a fórmula das raízes de um número complexo: \[ z_k = r^{1/n} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n} \] onde \( r = 1 \) (módulo de \( -1 \)), \( \theta = \pi \) e \( n = 4 \). Portanto, as raízes são: \[ z_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/4} \quad \text{para } k = 0, 1, 2, 3 \] Calculando para cada \( k \): - Para \( k = 0 \): \( z_0 = e^{i\pi/4} \) - Para \( k = 1 \): \( z_1 = e^{i3\pi/4} \) - Para \( k = 2 \): \( z_2 = e^{i5\pi/4} \) - Para \( k = 3 \): \( z_3 = e^{i7\pi/4} \) Assim, as soluções da equação \( z^4 + 1 = 0 \) são: \[ e^{i\pi/4}, e^{i3\pi/4}, e^{i5\pi/4}, e^{i7\pi/4} \] Portanto, a alternativa correta é a) \( e^{i\pi/4}, e^{i3\pi/4}, e^{i5\pi/4}, e^{i7\pi/4} \).