Problema 16: Determine o valor da integral \( \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

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Para resolver a integral \( \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \), vamos calcular a primitiva da função \( 3x^2 - 4x + 1 \). 1. A primitiva de \( 3x^2 \) é \( x^3 \). 2. A primitiva de \( -4x \) é \( -2x^2 \). 3. A primitiva de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a primitiva da função é: \[ F(x) = x^3 - 2x^2 + x \] Agora, vamos calcular \( F(2) \) e \( F(1) \): \[ F(2) = 2^3 - 2(2^2) + 2 = 8 - 8 + 2 = 2 \] \[ F(1) = 1^3 - 2(1^2) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = F(2) - F(1) = 2 - 0 = 2 \] Portanto, o valor da integral é \( 2 \). A alternativa correta é: C) 2.

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Problema 8: Determine o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \).

A) \( \frac{\pi^2}{6} \)
B) \( \frac{\pi^2}{4} \)
C) \( 1 \)
D) \( 2 \)

Problema 9: Encontre a solução geral da equação diferencial y'' + 4y = 0.

a) y = C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x)
b) y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}
c) y = C_1 cos(x) + C_2 sin(x)
d) y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}

Problema 10: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).

A) \(\ln(\ln(x)) + C\)
B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\)

Problema 11: Qual é a integral de \( \int \tan(x) \, dx \)?

A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)
B) \( \ln|\sin(x)| + C \)
C) \( \ln|\tan(x)| + C \)
D) \( \sin(x) + C \)

Problema 12: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).

A) 0
B) 1
C) \( e \)
D) Não existe

Problema 13: Encontre a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \).

A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)
B) \( e^{x^2} + C \)
C) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \)
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Problema 14: Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).

A) \( \frac{\pi}{2} \)
B) \( \frac{\pi}{4} \)
C) \( \frac{\pi}{3} \)
D) \( \frac{\pi}{6} \)

Problema 15: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?

A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)
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