Grátis: Problema 11: Qual é a integral de \( \int \tan(x) \, dx \)? A) \( -\ln|\cos(x)| + C \) B) \( \ln|\sin(x)| + C \) C) \( \ln|\tan(x)| + C \) D) \( \...

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Para resolver a integral \( \int \tan(x) \, dx \), podemos usar a definição de tangente em termos de seno e cosseno: \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \] Assim, podemos reescrever a integral como: \[ \int \tan(x) \, dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx \] Agora, podemos usar a substituição \( u = \cos(x) \), o que implica que \( du = -\sin(x) \, dx \) ou \( -du = \sin(x) \, dx \). Portanto, a integral se torna: \[ -\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos(x)| + C \] Assim, a integral de \( \tan(x) \) é: \[ \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)

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A) \( \frac{\pi^2}{6} \)
B) \( \frac{\pi^2}{4} \)
C) \( 1 \)
D) \( 2 \)

Problema 9: Encontre a solução geral da equação diferencial y'' + 4y = 0.

a) y = C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x)
b) y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}
c) y = C_1 cos(x) + C_2 sin(x)
d) y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}

Problema 10: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).

A) \(\ln(\ln(x)) + C\)
B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\)

Problema 12: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).

A) 0
B) 1
C) \( e \)
D) Não existe

Problema 13: Encontre a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \).

A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)
B) \( e^{x^2} + C \)
C) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \)
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Problema 14: Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).

A) \( \frac{\pi}{2} \)
B) \( \frac{\pi}{4} \)
C) \( \frac{\pi}{3} \)
D) \( \frac{\pi}{6} \)

Problema 15: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?

A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)
C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)
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