Grátis: Problema 15: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) D) ...

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Problema 15: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?

A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)
C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)
D) \( 2x \)

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Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), vamos usar a regra da cadeia. A derivada do logaritmo natural é dada por: \[ f'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) \] onde \( g(x) = x^2 + 1 \). Agora, vamos calcular \( g'(x) \): \[ g'(x) = 2x \] Agora, aplicando a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Analisando as alternativas: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) - Correta. B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) - Incorreta. C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) - Incorreta. D) \( 2x \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \).

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Problema 8: Determine o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \).

A) \( \frac{\pi^2}{6} \)
B) \( \frac{\pi^2}{4} \)
C) \( 1 \)
D) \( 2 \)

Problema 9: Encontre a solução geral da equação diferencial y'' + 4y = 0.

a) y = C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x)
b) y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}
c) y = C_1 cos(x) + C_2 sin(x)
d) y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}

Problema 10: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).

A) \(\ln(\ln(x)) + C\)
B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\)

Problema 11: Qual é a integral de \( \int \tan(x) \, dx \)?

A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)
B) \( \ln|\sin(x)| + C \)
C) \( \ln|\tan(x)| + C \)
D) \( \sin(x) + C \)

Problema 12: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).

A) 0
B) 1
C) \( e \)
D) Não existe

Problema 13: Encontre a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \).

A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)
B) \( e^{x^2} + C \)
C) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \)
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A) \( \frac{\pi}{2} \)
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