Determine a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). Agora, escolha a alternativa correta: A) \( 1 \) B) \( 2 \) C) \( 3 \) D) \( 4 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral. A função \( x^2 + 2x + 1 \) pode ser reescrita como \( (x + 1)^2 \). Agora, vamos calcular a integral: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \int_0^1 (x + 1)^2 \, dx \] Calculando a integral: 1. A integral de \( (x + 1)^2 \) é: \[ \int (x + 1)^2 \, dx = \frac{(x + 1)^3}{3} + C \] 2. Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{(x + 1)^3}{3} \right]_0^1 = \frac{(1 + 1)^3}{3} - \frac{(0 + 1)^3}{3} \] \[ = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \] Portanto, a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{7}{3} \). Nenhuma das alternativas apresentadas (A, B, C, D) corresponde ao resultado correto. Você pode precisar verificar as opções ou a formulação da questão.