Calcule os seguintes limites, caso existam: 8. lim x→0 sen(sen(2x)) x

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sen(\sen(2x))}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \). 1. Identificar a forma indeterminada: Quando \( x \to 0 \), tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. 2. Aplicar a regra de L'Hôpital: Derivamos o numerador e o denominador. - Derivada do numerador \( \sen(\sen(2x)) \): \[ \frac{d}{dx}[\sen(\sen(2x))] = \cos(\sen(2x)) \cdot \cos(2x) \cdot 2 \] - Derivada do denominador \( x \): \[ \frac{d}{dx}[x] = 1 \] 3. Reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(\sen(2x)) \cdot \cos(2x) \cdot 2}{1} \] 4. Substituir \( x = 0 \): - \( \sen(2 \cdot 0) = \sen(0) = 0 \) - \( \cos(0) = 1 \) Portanto: \[ \lim_{x \to 0} \cos(\sen(2x)) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 \] Assim, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sen(\sen(2x))}{x} = 2 \]