Calcule os seguintes limites, caso existam: 11. lim x→ π/2 cos x x − π/2

Para calcular o limite \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} \), vamos analisar o comportamento da função. 1. Quando \( x \) se aproxima de \( \frac{\pi}{2} \), \( \cos x \) se aproxima de \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \). 2. O denominador \( x - \frac{\pi}{2} \) também se aproxima de 0. Portanto, temos uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Para resolver isso, podemos usar a regra de L'Hôpital, que diz que se temos uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \), podemos derivar o numerador e o denominador: - Derivada do numerador \( \cos x \) é \( -\sin x \). - Derivada do denominador \( x - \frac{\pi}{2} \) é \( 1 \). Agora, aplicamos a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\sin x}{1} \] Substituindo \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} = -1 \]