Calcule os seguintes limites, caso existam: 9. lim x→0 (tg(3x) cossec(6x))

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} (\tan(3x) \csc(6x)) \), vamos analisar cada parte da expressão. 1. Substituição direta: Quando \( x \) se aproxima de 0, temos: - \( \tan(3x) \) se aproxima de \( 3x \) (porque \( \tan(x) \approx x \) quando \( x \) é pequeno). - \( \csc(6x) = \frac{1}{\sin(6x)} \) se aproxima de \( \frac{1}{6x} \) (porque \( \sin(x) \approx x \) quando \( x \) é pequeno). 2. Substituindo na expressão: \[ \tan(3x) \csc(6x) \approx (3x) \cdot \frac{1}{6x} \] 3. Simplificando: \[ (3x) \cdot \frac{1}{6x} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] 4. Conclusão: Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} (\tan(3x) \csc(6x)) = \frac{1}{2} \] Assim, a resposta é \( \frac{1}{2} \).