Calcule os seguintes limites, caso existam: 4. lim x→1/2 4 √2x − 1√2x − 1

Para calcular o limite \( \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 \sqrt{2x} - 1}{\sqrt{2x} - 1} \), vamos seguir os passos: 1. Substituição Direta: Primeiro, substituímos \( x = \frac{1}{2} \) na expressão: \[ \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{4 \cdot 1 - 1}{1 - 1} = \frac{4 - 1}{0} = \frac{3}{0} \] Isso indica que o limite pode ser indefinido ou infinito. 2. Análise do Comportamento: Para entender melhor, vamos analisar o comportamento da função quando \( x \) se aproxima de \( \frac{1}{2} \) pela esquerda e pela direita. - Quando \( x \) se aproxima de \( \frac{1}{2} \) pela esquerda (\( x \to \frac{1}{2}^- \)), \( \sqrt{2x} \) se aproxima de 1, e a expressão tende a \( +\infty \). - Quando \( x \) se aproxima de \( \frac{1}{2} \) pela direita (\( x \to \frac{1}{2}^+ \)), \( \sqrt{2x} \) também se aproxima de 1, e a expressão tende a \( +\infty \). 3. Conclusão: Como o limite tende a \( +\infty \) de ambos os lados, podemos concluir que: \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 \sqrt{2x} - 1}{\sqrt{2x} - 1} = +\infty \] Portanto, o limite existe e é \( +\infty \).