Calcule os seguintes limites, caso existam: 10. lim x→0 1 − 3 √cos x x2

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - 3\sqrt{\cos x}}{x^2} \), podemos usar a expansão em série de Taylor para \( \cos x \) em torno de \( x = 0 \): \[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \] Substituindo isso na expressão: \[ \sqrt{\cos x} \approx \sqrt{1 - \frac{x^2}{2}} \approx 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = 1 - \frac{x^2}{4} + O(x^4) \] Agora, substituímos na expressão original: \[ 1 - 3\sqrt{\cos x} \approx 1 - 3\left(1 - \frac{x^2}{4}\right) = 1 - 3 + \frac{3x^2}{4} = -2 + \frac{3x^2}{4} \] Assim, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - 3\sqrt{\cos x}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 + \frac{3x^2}{4}}{x^2} \] Separando os termos: \[ = \lim_{x \to 0} \left(\frac{-2}{x^2} + \frac{3}{4}\right) \] O primeiro termo \( \frac{-2}{x^2} \) tende a \( -\infty \) quando \( x \to 0 \). Portanto, o limite não existe. Resposta: O limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - 3\sqrt{\cos x}}{x^2} \) não existe.