Calcule os seguintes limites, caso existam: 25. lim x→−∞ 3x5 + 2x − 8√x6 + x + 1

Para calcular o limite \( \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^5 + 2x - 8}{\sqrt{x^6 + x + 1}} \), vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando \( x \) tende a \( -\infty \). 1. Numerador: \( 3x^5 + 2x - 8 \) - Quando \( x \to -\infty \), o termo dominante é \( 3x^5 \), que tende a \( -\infty \). 2. Denominador: \( \sqrt{x^6 + x + 1} \) - O termo dominante dentro da raiz é \( x^6 \). Portanto, \( \sqrt{x^6} = |x^3| \). Como \( x \) é negativo, \( |x^3| = -x^3 \). Assim, \( \sqrt{x^6 + x + 1} \) se comporta como \( -x^3 \) quando \( x \to -\infty \). Agora, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^5 + 2x - 8}{\sqrt{x^6 + x + 1}} \approx \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^5}{-x^3} \] Simplificando: \[ = \lim_{x \to -\infty} -3x^2 \] Como \( x^2 \) tende a \( +\infty \) quando \( x \to -\infty \), temos: \[ \lim_{x \to -\infty} -3x^2 = -\infty \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^5 + 2x - 8}{\sqrt{x^6 + x + 1}} = -\infty \]