Problema 89: Calcule a integral \int_0^1 (2x^4 + 5x^2 + 1) \, dx. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^4 + 5x^2 + 1) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(2x^4\) é \(\frac{2}{5}x^5\). 2. A integral de \(5x^2\) é \(\frac{5}{3}x^3\). 3. A integral de \(1\) é \(x\). Agora, somamos as integrais e avaliamos de 0 a 1: \[ \int_0^1 (2x^4 + 5x^2 + 1) \, dx = \left[\frac{2}{5}x^5 + \frac{5}{3}x^3 + x\right]_0^1 \] Calculando em \(x = 1\): \[ \frac{2}{5}(1)^5 + \frac{5}{3}(1)^3 + (1) = \frac{2}{5} + \frac{5}{3} + 1 \] Agora, precisamos de um denominador comum para somar: O mínimo múltiplo comum entre 5 e 3 é 15. Então, vamos reescrever as frações: \[ \frac{2}{5} = \frac{6}{15}, \quad \frac{5}{3} = \frac{25}{15}, \quad 1 = \frac{15}{15} \] Agora somamos: \[ \frac{6}{15} + \frac{25}{15} + \frac{15}{15} = \frac{46}{15} \] Agora, avaliamos em \(x = 0\): \[ \left[\frac{2}{5}(0)^5 + \frac{5}{3}(0)^3 + (0)\right] = 0 \] Portanto, a integral total é: \[ \frac{46}{15} - 0 = \frac{46}{15} \approx 3.07 \] Analisando as alternativas: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 A resposta correta, considerando que \(\frac{46}{15}\) está mais próxima de 3, é a alternativa c) 3.