Problema 85: Qual é a derivada da função f(x) = \tan(2x)? a) 2\sec^2(2x) b) 2\sec^2(x) c) 2\tan(2x) d) \sec^2(2x)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \tan(2x) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada da tangente é a secante ao quadrado, e precisamos multiplicar pela derivada do argumento \( 2x \). 1. A derivada de \( \tan(u) \) é \( \sec^2(u) \), onde \( u = 2x \). 2. A derivada de \( 2x \) é \( 2 \). Portanto, aplicando a regra da cadeia, temos: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(2x)) = 2 \sec^2(2x) \] Analisando as alternativas: a) \( 2\sec^2(2x) \) - Correta. b) \( 2\sec^2(x) \) - Incorreta. c) \( 2\tan(2x) \) - Incorreta. d) \( \sec^2(2x) \) - Incorreta. A alternativa correta é: a) \( 2\sec^2(2x) \).