Para analisar a série \(\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{(k+7)(k+8)}\), podemos usar a decomposição em frações parciais. A fração \(\frac{1}{(k+7)(k+8)}\) pode ser decomposta como: \[ \frac{1}{(k+7)(k+8)} = \frac{A}{k+7} + \frac{B}{k+8} \] Multiplicando ambos os lados por \((k+7)(k+8)\) e resolvendo para \(A\) e \(B\), encontramos que: \[ 1 = A(k+8) + B(k+7) \] Resolvendo o sistema, obtemos \(A = 1\) e \(B = -1\). Assim, a série se torna: \[ \sum_{k=3}^{\infty} \left( \frac{1}{k+7} - \frac{1}{k+8} \right) \] Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. A soma converge para um valor específico. Ao calcular a soma, você encontrará que a série é convergente. Para determinar a soma exata, você pode calcular os primeiros termos e observar o padrão. Após a análise, a alternativa correta é que a série é convergente, mas para determinar a soma exata, você precisaria fazer os cálculos. Se precisar de mais ajuda com os cálculos, estou aqui!