Problema 11: Calcule a integral ∫_0^1 x^2(1-x^2) dx. a) 1/6 b) 1/12 c) 1/4 d) 1/3

Para calcular a integral \(\int_0^1 x^2(1-x^2) \, dx\), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral: \[ x^2(1-x^2) = x^2 - x^4 \] Agora, podemos reescrever a integral: \[ \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx \] Agora, vamos calcular a integral separadamente: 1. \(\int_0^1 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}\) 2. \(\int_0^1 x^4 \, dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5}\) Agora, substituímos esses resultados na integral original: \[ \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \] Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum, que é 15: \[ \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \quad \text{e} \quad \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \] Portanto: \[ \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15} \] Assim, a integral \(\int_0^1 x^2(1-x^2) \, dx = \frac{2}{15}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode verificar se a questão ou as alternativas estão corretas.