Encontre as raízes de z^4 + 16 = 0. A) \pm 2(1 + i) B) \pm 4(1 + i) C) \pm 2\sqrt{2} + \frac{8}{\sqrt{2}}i D) \pm 4e^{i\frac{\pi}{4}}

Para encontrar as raízes da equação \( z^4 + 16 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -16 \). Podemos expressar \(-16\) na forma polar: \[ -16 = 16e^{i\pi} \quad (\text{pois } -16 \text{ está no eixo negativo real}) \] Agora, para encontrar as raízes quartas, usamos a fórmula: \[ z_k = \sqrt[4]{r} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)} \] onde \( r = 16 \), \( \theta = \pi \), \( n = 4 \) e \( k = 0, 1, 2, 3 \). Calculando: \[ \sqrt[4]{16} = 2 \] As raízes são: \[ z_k = 2 e^{i\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right)} \quad \text{para } k = 0, 1, 2, 3 \] Calculando para cada \( k \): - Para \( k = 0 \): \( z_0 = 2 e^{i\frac{\pi}{4}} = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + i\sqrt{2} \) - Para \( k = 1 \): \( z_1 = 2 e^{i\frac{3\pi}{4}} = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2} \) - Para \( k = 2 \): \( z_2 = 2 e^{i\frac{5\pi}{4}} = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} - i\sqrt{2} \) - Para \( k = 3 \): \( z_3 = 2 e^{i\frac{7\pi}{4}} = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} - i\sqrt{2} \) Assim, as raízes são: \[ \pm 2(1 + i) \quad \text{e} \quad \pm 2(1 - i) \] Analisando as alternativas: A) \(\pm 2(1 + i)\) - Correto. B) \(\pm 4(1 + i)\) - Incorreto. C) \(\pm 2\sqrt{2} + \frac{8}{\sqrt{2}}i\) - Incorreto. D) \(\pm 4e^{i\frac{\pi}{4}}\) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\pm 2(1 + i)\).