Se z^2 = 1 - i, quais são as raízes z? A) \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i B) 1 + i C) 1 D) -1

Para encontrar as raízes da equação \( z^2 = 1 - i \), precisamos expressar \( 1 - i \) em forma polar e, em seguida, aplicar a fórmula de raízes quadradas. 1. Primeiro, encontramos o módulo de \( 1 - i \): \[ |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \] 2. Agora, encontramos o argumento (ângulo) de \( 1 - i \): \[ \text{arg}(1 - i) = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4} \] 3. Assim, podemos escrever \( 1 - i \) na forma polar: \[ 1 - i = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] 4. Para encontrar as raízes quadradas, usamos a fórmula: \[ z_k = \sqrt{r} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{2}\right) \right) \] onde \( r = \sqrt{2} \) e \( \theta = -\frac{\pi}{4} \). 5. Calculando \( \sqrt{r} \): \[ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{1/4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] 6. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) \right) \] 7. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{8} + \pi\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{8} + \pi\right) \right) \] Após calcular, obtemos as raízes: \[ z = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i \] Portanto, a alternativa correta é: A) \(\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i\)