Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x) \,dx\), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral. Observe que a expressão \(x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x\) pode ser fatorada. Na verdade, ela é igual a \((x-1)^5 + 1\). Portanto, podemos reescrever a integral como: \[ \int_0^1 (x-1)^5 + 1 \,dx \] Agora, vamos calcular a integral separadamente: 1. A integral de \((x-1)^5\) de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x-1)^5 \,dx = \left[ \frac{(x-1)^6}{6} \right]_0^1 = \frac{(1-1)^6}{6} - \frac{(0-1)^6}{6} = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \] 2. A integral de 1 de 0 a 1: \[ \int_0^1 1 \,dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1 \] Agora, somamos os resultados das duas integrais: \[ -\frac{1}{6} + 1 = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] Portanto, a integral total é \(\frac{5}{6}\). Como nenhuma das alternativas corresponde a \(\frac{5}{6}\), parece que houve um erro na formulação da questão ou nas opções. No entanto, se considerarmos a integral original, o resultado correto não está listado. Se você precisar de mais ajuda ou se houver um erro nas opções, você pode criar uma nova pergunta!