58. **Problema 58:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \,dx\). Agora, escolha a alternativa correta: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \,dx\), primeiro, podemos observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Podemos integrar cada termo separadamente: 1. \(\int x^4 \,dx = \frac{x^5}{5}\) 2. \(\int 4x^3 \,dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4\) 3. \(\int 6x^2 \,dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3\) 4. \(\int 4x \,dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2\) 5. \(\int 1 \,dx = x\) Agora, somando todos os resultados, temos: \[ \int (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \,dx = \frac{x^5}{5} + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x \] Agora, precisamos avaliar essa integral de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^5}{5} + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x \right]_0^1 \] Substituindo \(x = 1\): \[ \frac{1^5}{5} + 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 = \frac{1}{5} + 1 + 2 + 2 + 1 = \frac{1}{5} + 6 = \frac{1 + 30}{5} = \frac{31}{5} \] Substituindo \(x = 0\): \[ \frac{0^5}{5} + 0^4 + 2 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 0 = 0 \] Portanto, a integral de 0 a 1 é: \[ \frac{31}{5} = 6.2 \] Nenhuma das alternativas apresentadas (1, 2, 3, 4) corresponde ao resultado da integral. Parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.