Para encontrar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(3, 3, 9), B(4, 1, 6) e C(2, -1, 3), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os vetores AB e AC: - O vetor \( \vec{AB} = B - A = (4 - 3, 1 - 3, 6 - 9) = (1, -2, -3) \) - O vetor \( \vec{AC} = C - A = (2 - 3, -1 - 3, 3 - 9) = (-1, -4, -6) \) 2. Calcular o produto vetorial \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \): - \( \vec{u} = \vec{AB} = (1, -2, -3) \) - \( \vec{v} = \vec{AC} = (-1, -4, -6) \) O produto vetorial é dado por: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -3 \\ -1 & -4 & -6 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \vec{n} = \hat{i}((-2)(-6) - (-3)(-4)) - \hat{j}((1)(-6) - (-3)(-1)) + \hat{k}((1)(-4) - (-2)(-1)) \] \[ = \hat{i}(12 - 12) - \hat{j}(-6 + 3) + \hat{k}(-4 - 2) \] \[ = \hat{i}(0) - \hat{j}(-3) + \hat{k}(-6) \] \[ = (0, 3, -6) \] 3. Equação do plano: A equação do plano na forma \( Ax + By + Cz + D = 0 \) pode ser escrita usando o vetor normal \( \vec{n} = (0, 3, -6) \) e um dos pontos, por exemplo, A(3, 3, 9): \[ 0(x - 3) + 3(y - 3) - 6(z - 9) = 0 \] Simplificando: \[ 3y - 9 - 6z + 54 = 0 \] \[ 3y - 6z + 45 = 0 \] Dividindo tudo por 3: \[ y - 2z + 15 = 0 \] Portanto, a equação geral do plano \( \alpha \) que passa pelos pontos A, B e C é: \[ y - 2z + 15 = 0 \]