Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos usar a substituição que envolve a função arco-tangente. Sabemos que a integral da forma \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx\) é dada por \(\frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\). No seu caso, temos \(a^2 = 4\), então \(a = 2\). Assim, a integral se torna: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Analisando as alternativas: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Correta. b) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Incorreta. c) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. d) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\).