Encontre o valor de \int_{0}^{1} x^3 \ln(x) \, dx. a) -\frac{1}{16} b) -\frac{1}{8} c) -\frac{1}{12} d) -\frac{1}{4}

Para resolver a integral \(\int_{0}^{1} x^3 \ln(x) \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} dx\) - \(dv = x^3 dx\) \(\Rightarrow v = \frac{x^4}{4}\) Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int x^3 \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] Simplificando a integral: \[ = \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx \] Calculando a integral \(\int x^3 \, dx\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] Substituindo de volta: \[ = \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{x^4}{16} \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{x^4}{16} \right]_{0}^{1} \] Para \(x = 1\): \[ \frac{1^4 \ln(1)}{4} - \frac{1^4}{16} = 0 - \frac{1}{16} = -\frac{1}{16} \] Para \(x = 0\), a parte \(\frac{x^4 \ln(x)}{4}\) tende a \(0\) (usando limite), e a parte \(-\frac{x^4}{16}\) também tende a \(0\). Portanto, o valor da integral é: \[ \int_{0}^{1} x^3 \ln(x) \, dx = -\frac{1}{16} \] Assim, a alternativa correta é: a) -\frac{1}{16}.