Determine o valor de \int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx. a) \frac{3\pi}{8} b) \frac{2\pi}{3} c) \frac{4\pi}{3} d) \frac{\pi}{4}

Para calcular a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx\), podemos usar a identidade de redução ou a fórmula de potência. Uma forma de simplificar \(\sin^3(x)\) é usar a identidade: \[ \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \] Assim, podemos reescrever a integral como: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx - \int_{0}^{\pi} \sin(x) \cos^2(x) \, dx \] A primeira parte, \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\), é igual a 2. Para a segunda parte, podemos usar a substituição \(u = \cos(x)\), onde \(du = -\sin(x) \, dx\). Os limites de integração mudam de \(0\) a \(\pi\) para \(1\) a \(-1\): \[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \cos^2(x) \, dx = -\int_{1}^{-1} u^2 \, du = \int_{-1}^{1} u^2 \, du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} \] Portanto, a integral se torna: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] Assim, o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx\) é \(\frac{4\pi}{3}\). Portanto, a alternativa correta é: c) \(\frac{4\pi}{3}\)