Qual é a forma exponencial de z = 1 + √3i? a) 2e^(iπ/3) b) 2e^(iπ/4) c) 2e^(i5π/6) d) 2e^(iπ/2)

Para encontrar a forma exponencial de \( z = 1 + \sqrt{3}i \), precisamos primeiro calcular o módulo e o argumento do número complexo. 1. Módulo: \[ |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) \] Sabemos que \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \), então \( \theta = \frac{\pi}{3} \). Agora, podemos escrever \( z \) na forma exponencial: \[ z = |z| e^{i\theta} = 2 e^{i\frac{\pi}{3}} \] Analisando as alternativas: a) \( 2e^{i\frac{\pi}{3}} \) - Correto. b) \( 2e^{i\frac{\pi}{4}} \) - Incorreto. c) \( 2e^{i\frac{5\pi}{6}} \) - Incorreto. d) \( 2e^{i\frac{\pi}{2}} \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) \( 2e^{i\frac{\pi}{3}} \).