Determine a integral \( \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx \). a) \( 2 \) b) \( \frac{11}{6} \) c) \( 1 \) d) \( \frac{5}{3} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx \), vamos calcular a integral passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2}{3}x^3 \). - A antiderivada de \( 3x \) é \( \frac{3}{2}x^2 \). - A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada de \( 2x^2 + 3x + 1 \) é: \[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \] 2. Avaliar a integral de 0 a 1: \[ \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \right]_0^1 \] 3. Calcular no limite superior (1): \[ \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + (1) = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1 \] Para somar, vamos encontrar um denominador comum, que é 6: \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6}, \quad \frac{3}{2} = \frac{9}{6}, \quad 1 = \frac{6}{6} \] Portanto: \[ \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{19}{6} \] 4. Calcular no limite inferior (0): \[ \left[ \frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 + (0) \right] = 0 \] 5. Resultado da integral: \[ \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{19}{6} - 0 = \frac{19}{6} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se houve algum erro na formulação da pergunta.