Problema 26: Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 4 caras? a) 0,25 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5

Para resolver essa questão, utilizamos a fórmula da probabilidade binomial, que é dada por: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de lançamentos (neste caso, 8), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 4 caras), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em um único lançamento (para uma moeda justa, \( p = 0,5 \)). Calculando: 1. \( n = 8 \) 2. \( k = 4 \) 3. \( p = 0,5 \) A combinação \( \binom{8}{4} \) é calculada como: \[ \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 4) = 70 \times (0,5)^4 \times (0,5)^{8-4} \] \[ P(X = 4) = 70 \times (0,5)^8 \] \[ P(X = 4) = 70 \times \frac{1}{256} \] \[ P(X = 4) = \frac{70}{256} \] \[ P(X = 4) = \frac{35}{128} \approx 0,2734 \] Analisando as alternativas: a) 0,25 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 A probabilidade calculada (aproximadamente 0,2734) se aproxima mais da alternativa b) 0,3. Portanto, a resposta correta é: b) 0,3.