Problema 35: Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 caras?

Para resolver o problema de calcular a probabilidade de obter exatamente 2 caras ao lançar uma moeda 4 vezes, podemos usar a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de lançamentos (neste caso, 4), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 2 caras), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em um único lançamento (para uma moeda justa, \( p = 0,5 \)), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher \( k \) sucessos em \( n \) tentativas. 1. Calcule o coeficiente binomial \( \binom{4}{2} \): \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] 2. Calcule \( p^k \) e \( (1-p)^{n-k} \): \[ p^2 = (0,5)^2 = 0,25 \] \[ (1-p)^{4-2} = (0,5)^2 = 0,25 \] 3. Agora, substitua na fórmula: \[ P(X = 2) = 6 \times 0,25 \times 0,25 = 6 \times 0,0625 = 0,375 \] Portanto, a probabilidade de obter exatamente 2 caras ao lançar uma moeda 4 vezes é 0,375 ou 37,5%.