Calcule a integral \(\int_0^1 (9x^2 - 6x + 1) \, dx\). a) 1 b) 0 c) \(\frac{1}{3}\) d) \(\frac{5}{3}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (9x^2 - 6x + 1) \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: A antiderivada de \(9x^2\) é \(3x^3\), a antiderivada de \(-6x\) é \(-3x^2\) e a antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada de \(9x^2 - 6x + 1\) é: \[ F(x) = 3x^3 - 3x^2 + x \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, precisamos avaliar \(F(x)\) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = 3(1)^3 - 3(1)^2 + (1) = 3 - 3 + 1 = 1 \] \[ F(0) = 3(0)^3 - 3(0)^2 + (0) = 0 \] 3. Calcular a integral: Agora, subtraímos os valores: \[ \int_0^1 (9x^2 - 6x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1 \] Portanto, a resposta correta é a) 1.