Para resolver a equação \( z^4 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -1 \). As soluções de \( z^4 = -1 \) podem ser encontradas utilizando a forma polar. O número -1 pode ser representado na forma polar como \( 1 \text{cis} (180^\circ) \) ou \( 1 \text{cis} (\pi) \). As raízes quartas de -1 são dadas por: \[ z_k = \sqrt[4]{1} \text{cis} \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) \quad \text{para } k = 0, 1, 2, 3 \] Calculando para cada \( k \): 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = \text{cis} \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = \text{cis} \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = \text{cis} \left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \] 4. Para \( k = 3 \): \[ z_3 = \text{cis} \left( \frac{7\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \] Agora, analisando as alternativas: A) \( z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - Esta é uma solução. B) \( z = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - Esta é uma solução. C) \( z = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - Esta é uma solução. D) \( z = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - Esta é uma solução. Portanto, todas as alternativas apresentadas são soluções da equação \( z^4 + 1 = 0 \). A primeira alternativa, A) \( z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \), é uma das soluções corretas.