Sendo D a região limitada pelas funções g1 (x) = x e g2 (x) = -x2 + 3x, a integral é igual a: a. 4/3 b. 2/3 c. 3/4 d. 1/2 e. - 4/3

Para resolver a integral da região D limitada pelas funções \( g_1(x) = x \) e \( g_2(x) = -x^2 + 3x \), precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção dessas duas funções. 1. Igualamos as funções: \[ x = -x^2 + 3x \] Rearranjando, temos: \[ x^2 - 2x = 0 \] Fatorando: \[ x(x - 2) = 0 \] Portanto, os pontos de interseção são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 2. Agora, precisamos calcular a integral da diferença das funções entre esses limites: \[ \int_{0}^{2} (g_2(x) - g_1(x)) \, dx = \int_{0}^{2} \left((-x^2 + 3x) - x\right) \, dx \] Simplificando a expressão: \[ = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx \] 3. Agora, calculamos a integral: \[ = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2\right]_{0}^{2} \] Avaliando nos limites: \[ = \left[-\frac{2^3}{3} + 2^2\right] - \left[-\frac{0^3}{3} + 0^2\right] \] \[ = \left[-\frac{8}{3} + 4\right] \] \[ = \left[-\frac{8}{3} + \frac{12}{3}\right] = \frac{4}{3} \] Portanto, a integral é igual a \( \frac{4}{3} \). A alternativa correta é: a. \( \frac{4}{3} \).