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Exerćıcio 13. Dê um exemplo de uma matriz não diagonal A2×2 tal que A−1 = A.

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Exercícios de Matrizes e Determinantes

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Um exemplo de uma matriz \( A \) não diagonal \( 2 \times 2 \) tal que \( A^{-1} = A \) é: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] Para verificar, calculamos \( A^{-1} \): \[ A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \] Assim, \( A^{-1} = A \).

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Exercícios de Matrizes e Determinantes

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Exerćıcio 1. Sejam A e B matrizes 4× 4 tais que det(A) = −2 e det(B) = 5. Calcule (a) det(2A) (b) det(−A) (c) det(−3A) (d) det(AtB) (e) det(A3) (f) det(A−1B2) (g) det(−3A2B3) (h) det(B−1A−1) (i) det(2ABt)

Exerćıcio 2. Para uma matriz quadrada A sabe-se que det(A) = 2 e que A−1 = [ 1 2 2 0 −1 a −1 2 −1 ]. Calcule o valor da constante a.

Exerćıcio 3. Utilizando operações elementares em linhas, transforme cada uma das seguintes matrizes em uma matriz triangular superior. Em seguida, utilizando estas matrizes triangulares, calcule os determinantes das matrizes dadas.

Exerćıcio 5. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A = [ 3 0 −1 3 1 a + 1 2a + 1 2 1 ] tem inversa. Se a = 17, dê o conjunto solução do sistema linear homogêneo AX = 0.

Exerćıcio 6. (a) Calcule a inversa da seguinte matriz. A = [ −5 1 1 3 −1 0 7 −6 5 ]. (b) Calcule os determinantes das matrizes A e A−1.

Exerćıcio 7. Suponha que a matriz B = [ 1 0 0 0 2 −3 0 0 −2 1 −1 0 3 5 8 −2 ] tenha sido obtida de A aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares: (a) Troca da linha L3 com a linha L4; (b) Substituição da linha L2 por L2 − 3L1; (c) Substituição da linha L3 por 1/2 L3. Calcule o determinante da matriz A.

Exerćıcio 8. Considere a matriz A = [ 1 1 −1 −3 x x 1 0 −1 ]. (a) Encontre os valores da incógnita x para os quais a matriz A seja invert́ıvel. (b) Substitua x = 2 na matriz A e calcule A−1, caso exista. (c) Resolva o sistema { x + y − z = −3 −3x + 2y + 2z = 5 x − z = −4 }

Questão 9. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z. { x + ay + z = 3 2x − y + z = a ax + 4y + 2z = 6 } Determine todos os valores de a para os quais o sistema: (a) tem uma única solução; (b) não tem solução; (c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.

Questão 10. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z. { x − 3y + az = 14 4x + ay + 6z = 20 x + y + 2z = a } Determine todos os valores de a para os quais o sistema: (a) tem uma única solução; (b) não tem solução; (c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.

Exerćıcio 11. Determine condições sobre o coeficiente a para que o sistema linear { 3x + 2y + z = −3 ax + y − 3z = −2 2x + ay + 4z = 3 } possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.

Exerćıcio 12. Determine condições sobre a e b para que o sistema linear { ax + 2z = 2 5x + 2y = 1 x − 2y + bz = 3 } possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.

Exerćıcio 14. Dê exemplo de matrizes 2× 2 não nulas A, B e C tais que AB = AC e B 6= C. É posśıvel construir um tal exemplo com det(A) 6= 0 ?

Exerćıcio 15. Dada uma matriz quadrada A, mostre que a matriz B = AAt é uma matriz simétrica. Isto é, mostre que Bt = B.

Exerćıcio 16. Sejam A e B matrizes quadradas tais que det(AB) = 0. Mostre que ou A é não invert́ıvel ou B é não invert́ıvel.

Exerćıcio 17. Existe uma matriz quadrada A tal que A tem inversa, mas A2 não tem inversa?

Exerćıcio 18. Uma matriz é chamada de ortogonal se a sua inversa é igual a sua transposta. Mostre que se A é uma matriz ortogonal, então det(A) = ±1.

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Exerćıcio 13. Dê um exemplo de uma matriz não diagonal A2×2 tal que A−1 = A.

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Exerćıcio 1. Sejam A e B matrizes 4× 4 tais que det(A) = −2 e det(B) = 5. Calcule (a) det(2A) (b) det(−A) (c) det(−3A) (d) det(AtB) (e) det(A3) (f) det(A−1B2) (g) det(−3A2B3) (h) det(B−1A−1) (i) det(2ABt)

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Exerćıcio 3. Utilizando operações elementares em linhas, transforme cada uma das seguintes matrizes em uma matriz triangular superior. Em seguida, utilizando estas matrizes triangulares, calcule os determinantes das matrizes dadas.

Exerćıcio 5. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A = [ 3 0 −1 3 1 a + 1 2a + 1 2 1 ] tem inversa. Se a = 17, dê o conjunto solução do sistema linear homogêneo AX = 0.

Exerćıcio 6. (a) Calcule a inversa da seguinte matriz. A = [ −5 1 1 3 −1 0 7 −6 5 ]. (b) Calcule os determinantes das matrizes A e A−1.

Exerćıcio 8. Considere a matriz A = [ 1 1 −1 −3 x x 1 0 −1 ]. (a) Encontre os valores da incógnita x para os quais a matriz A seja invert́ıvel. (b) Substitua x = 2 na matriz A e calcule A−1, caso exista. (c) Resolva o sistema { x + y − z = −3 −3x + 2y + 2z = 5 x − z = −4 }

Exerćıcio 11. Determine condições sobre o coeficiente a para que o sistema linear { 3x + 2y + z = −3 ax + y − 3z = −2 2x + ay + 4z = 3 } possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.

Exerćıcio 12. Determine condições sobre a e b para que o sistema linear { ax + 2z = 2 5x + 2y = 1 x − 2y + bz = 3 } possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.

Exerćıcio 14. Dê exemplo de matrizes 2× 2 não nulas A, B e C tais que AB = AC e B 6= C. É posśıvel construir um tal exemplo com det(A) 6= 0 ?

Exerćıcio 15. Dada uma matriz quadrada A, mostre que a matriz B = AAt é uma matriz simétrica. Isto é, mostre que Bt = B.

Exerćıcio 16. Sejam A e B matrizes quadradas tais que det(AB) = 0. Mostre que ou A é não invert́ıvel ou B é não invert́ıvel.

Exerćıcio 17. Existe uma matriz quadrada A tal que A tem inversa, mas A2 não tem inversa?

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