Exerćıcio 17. Existe uma matriz quadrada A tal que A tem inversa, mas A2 não tem inversa?

Sim, existe uma matriz quadrada \( A \) que tem inversa, mas \( A^2 \) não tem inversa. Um exemplo clássico é a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \). Essa matriz \( A \) é uma matriz de posto 1, o que significa que ela tem uma inversa (não é singular), mas quando calculamos \( A^2 \): \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] A matriz \( A^2 \) também é de posto 1, portanto, não tem inversa, pois não é uma matriz de posto completo. Assim, temos um exemplo onde \( A \) tem inversa, mas \( A^2 \) não tem.