Exercícios de Matrizes e Determinantes

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GAAL – Lista de Exerćıcios – 2
Matriz inversa, Determinante e Sistemas Lineares
Exerćıcio 1. Sejam A e B matrizes 4× 4 tais que det(A) = −2 e det(B) = 5. Calcule
(a) det(2A) (b) det(−A) (c) det(−3A)
(d) det(AtB) (e) det(A3) (f) det(A−1B2)
(g) det(−3A2B3) (h) det(B−1A−1) (i) det(2ABt)
Exerćıcio 2. Para uma matriz quadrada A sabe-se que det(A) = 2 e que
A−1 =
 1 2 2
0 −1 a
−1 2 −1
 .
Calcule o valor da constante a.
Exerćıcio 3. Utilizando operações elementares em linhas, transforme cada uma das
seguintes matrizes em uma matriz triangular superior. Em seguida, utilizando estas
matrizes triangulares, calcule os determinantes das matrizes dadas.
A =

3 1 0 −2
0 2 −4 0
1 0 −1 2
1 2 1 −7
 B =

0 1 −1 2
1 3 1 0
2 0 0 3
4 −2 1 2

Exerćıcio 4. Utilizando o desenvolvimento em cofatores por uma linha ou por uma
coluna, calcule novamente os determinantes das duas matrizes do exerćıcio anterior.
Exerćıcio 5. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz
A =
 3 0 −1
3 1 a + 1
2a + 1 2 1

tem inversa. Se a = 17, dê o conjunto solução do sistema linear homogêneo AX = 0.
Exerćıcio 6.
(a) Calcule a inversa da seguinte matriz.
A =
 −5 1 1
3 −1 0
7 −6 5
 .
(b) Calcule os determinantes das matrizes A e A−1.
Exerćıcio 7. Suponha que a matriz
B =

1 0 0 0
2 −3 0 0
−2 1 −1 0
3 5 8 −2

tenha sido obtida de A aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares:
(a) Troca da linha L3 com a linha L4;
(b) Substituição da linha L2 por L2 − 3L1;
(c) Substituição da linha L3 por
1
2
L3.
Calcule o determinante da matriz A.
Exerćıcio 8. Considere a matriz
A =
 1 1 −1
−3 x x
1 0 −1

(a) Encontre os valores da incógnita x para os quais a matriz A seja invert́ıvel.
(b) Substitua x = 2 na matriz A e calcule A−1, caso exista.
(c) Resolva o sistema 
x + y − z = −3
−3x + 2y + 2z = 5
x − z = −4
Questão 9. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
x + ay + z = 3
2x − y + z = a
ax + 4y + 2z = 6
Determine todos os valores de a para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
(c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.
Questão 10. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
x − 3y + az = 14
4x + ay + 6z = 20
x + y + 2z = a
Determine todos os valores de a para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
(c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.
Exerćıcio 11. Determine condições sobre o coeficiente a para que o sistema linear
3x + 2y + z = −3
ax + y − 3z = −2
2x + ay + 4z = 3
possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.
Exerćıcio 12. Determine condições sobre a e b para que o sistema linear
ax + 2z = 2
5x + 2y = 1
x − 2y + bz = 3
possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.
Exerćıcio 13. Dê um exemplo de uma matriz não diagonal A2×2 tal que A−1 = A.
Exerćıcio 14. Dê exemplo de matrizes 2× 2 não nulas A, B e C tais que
AB = AC e B 6= C .
É posśıvel construir um tal exemplo com det(A) 6= 0 ?
Exerćıcio 15. Dada uma matriz quadrada A, mostre que a matriz B = AAt é uma
matriz simétrica. Isto é, mostre que Bt = B.
Exerćıcio 16. Sejam A e B matrizes quadradas tais que det(AB) = 0. Mostre que ou
A é não invert́ıvel ou B é não invert́ıvel.
Exerćıcio 17. Existe uma matriz quadrada A tal que A tem inversa, mas A2 não tem
inversa?
Exerćıcio 18. Uma matriz é chamada de ortogonal se a sua inversa é igual a sua
transposta. Mostre que se A é uma matriz ortogonal, então det(A) = ±1.
- FIM -