Grátis: Exerćıcio 18. Uma matriz é chamada de ortogonal se a sua inversa é igual a sua transposta. Mostre que se A é uma matriz ortogonal, então det(A...

Álgebra Linear

Outros

Exerćıcio 18. Uma matriz é chamada de ortogonal se a sua inversa é igual a sua transposta. Mostre que se A é uma matriz ortogonal, então det(A) = ±1.

Questões Para o Saber

há 2 anos

Questões Para o Saber

há 2 anos

3 pág.

Exercícios de Matrizes e Determinantes

UFMG

Respostas

há 2 anos

Para mostrar que se \( A \) é uma matriz ortogonal, então \( \text{det}(A) = \pm 1 \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Definição de matriz ortogonal: Uma matriz \( A \) é ortogonal se \( A^T A = I \), onde \( A^T \) é a transposta de \( A \) e \( I \) é a matriz identidade. 2. Propriedade do determinante: Sabemos que \( \text{det}(A^T) = \text{det}(A) \) e \( \text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) \) para quaisquer matrizes \( A \) e \( B \). 3. Aplicando a propriedade: Aplicando o determinante na equação \( A^T A = I \), temos: \[ \text{det}(A^T A) = \text{det}(I) \] 4. Cálculo do determinante: Como \( \text{det}(I) = 1 \), podemos escrever: \[ \text{det}(A^T) \cdot \text{det}(A) = 1 \] Substituindo \( \text{det}(A^T) \) por \( \text{det}(A) \), obtemos: \[ \text{det}(A) \cdot \text{det}(A) = 1 \] ou seja, \[ (\text{det}(A))^2 = 1 \] 5. Conclusão: Isso implica que \( \text{det}(A) = 1 \) ou \( \text{det}(A) = -1 \). Portanto, se \( A \) é uma matriz ortogonal, então \( \text{det}(A) = \pm 1 \).

Essa resposta te ajudou?

Ainda não achou a resposta?

Integrado com os principais modelos de IA do mercado
Respostas em segundos
IA treinada para estudantes brasileiros.

Evolua sua forma de estudar

Cadastre-se ou realize login

Ainda com dúvidas?

Envie uma pergunta e tenha sua dúvida de estudo respondida!

Essa pergunta também está no material:

3 pág.

Exercícios de Matrizes e Determinantes

UFMG

Mais perguntas desse material

Exerćıcio 1. Sejam A e B matrizes 4× 4 tais que det(A) = −2 e det(B) = 5. Calcule (a) det(2A) (b) det(−A) (c) det(−3A) (d) det(AtB) (e) det(A3) (f) det(A−1B2) (g) det(−3A2B3) (h) det(B−1A−1) (i) det(2ABt)

Exerćıcio 2. Para uma matriz quadrada A sabe-se que det(A) = 2 e que A−1 = [ 1 2 2 0 −1 a −1 2 −1 ]. Calcule o valor da constante a.

Exerćıcio 3. Utilizando operações elementares em linhas, transforme cada uma das seguintes matrizes em uma matriz triangular superior. Em seguida, utilizando estas matrizes triangulares, calcule os determinantes das matrizes dadas.

Exerćıcio 5. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A = [ 3 0 −1 3 1 a + 1 2a + 1 2 1 ] tem inversa. Se a = 17, dê o conjunto solução do sistema linear homogêneo AX = 0.

Exerćıcio 6. (a) Calcule a inversa da seguinte matriz. A = [ −5 1 1 3 −1 0 7 −6 5 ]. (b) Calcule os determinantes das matrizes A e A−1.

Exerćıcio 7. Suponha que a matriz B = [ 1 0 0 0 2 −3 0 0 −2 1 −1 0 3 5 8 −2 ] tenha sido obtida de A aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares: (a) Troca da linha L3 com a linha L4; (b) Substituição da linha L2 por L2 − 3L1; (c) Substituição da linha L3 por 1/2 L3. Calcule o determinante da matriz A.

Exerćıcio 8. Considere a matriz A = [ 1 1 −1 −3 x x 1 0 −1 ]. (a) Encontre os valores da incógnita x para os quais a matriz A seja invert́ıvel. (b) Substitua x = 2 na matriz A e calcule A−1, caso exista. (c) Resolva o sistema { x + y − z = −3 −3x + 2y + 2z = 5 x − z = −4 }

Questão 9. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z. { x + ay + z = 3 2x − y + z = a ax + 4y + 2z = 6 } Determine todos os valores de a para os quais o sistema: (a) tem uma única solução; (b) não tem solução; (c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.

Questão 10. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z. { x − 3y + az = 14 4x + ay + 6z = 20 x + y + 2z = a } Determine todos os valores de a para os quais o sistema: (a) tem uma única solução; (b) não tem solução; (c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.

Exerćıcio 11. Determine condições sobre o coeficiente a para que o sistema linear { 3x + 2y + z = −3 ax + y − 3z = −2 2x + ay + 4z = 3 } possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.

Exerćıcio 12. Determine condições sobre a e b para que o sistema linear { ax + 2z = 2 5x + 2y = 1 x − 2y + bz = 3 } possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.

Álgebra Linear

Exercícios de Matrizes e Determinantes

Respostas

Ainda não achou a resposta?

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

Exercícios de Matrizes e Determinantes

Exerćıcio 1. Sejam A e B matrizes 4× 4 tais que det(A) = −2 e det(B) = 5. Calcule (a) det(2A) (b) det(−A) (c) det(−3A) (d) det(AtB) (e) det(A3) (f) det(A−1B2) (g) det(−3A2B3) (h) det(B−1A−1) (i) det(2ABt)

Exerćıcio 2. Para uma matriz quadrada A sabe-se que det(A) = 2 e que A−1 = [ 1 2 2 0 −1 a −1 2 −1 ]. Calcule o valor da constante a.

Exerćıcio 3. Utilizando operações elementares em linhas, transforme cada uma das seguintes matrizes em uma matriz triangular superior. Em seguida, utilizando estas matrizes triangulares, calcule os determinantes das matrizes dadas.

Exerćıcio 5. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A = [ 3 0 −1 3 1 a + 1 2a + 1 2 1 ] tem inversa. Se a = 17, dê o conjunto solução do sistema linear homogêneo AX = 0.

Exerćıcio 6. (a) Calcule a inversa da seguinte matriz. A = [ −5 1 1 3 −1 0 7 −6 5 ]. (b) Calcule os determinantes das matrizes A e A−1.

Exerćıcio 8. Considere a matriz A = [ 1 1 −1 −3 x x 1 0 −1 ]. (a) Encontre os valores da incógnita x para os quais a matriz A seja invert́ıvel. (b) Substitua x = 2 na matriz A e calcule A−1, caso exista. (c) Resolva o sistema { x + y − z = −3 −3x + 2y + 2z = 5 x − z = −4 }

Exerćıcio 11. Determine condições sobre o coeficiente a para que o sistema linear { 3x + 2y + z = −3 ax + y − 3z = −2 2x + ay + 4z = 3 } possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.

Exerćıcio 12. Determine condições sobre a e b para que o sistema linear { ax + 2z = 2 5x + 2y = 1 x − 2y + bz = 3 } possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.

Exerćıcio 13. Dê um exemplo de uma matriz não diagonal A2×2 tal que A−1 = A.

Exerćıcio 14. Dê exemplo de matrizes 2× 2 não nulas A, B e C tais que AB = AC e B 6= C. É posśıvel construir um tal exemplo com det(A) 6= 0 ?

Exerćıcio 15. Dada uma matriz quadrada A, mostre que a matriz B = AAt é uma matriz simétrica. Isto é, mostre que Bt = B.

Exerćıcio 16. Sejam A e B matrizes quadradas tais que det(AB) = 0. Mostre que ou A é não invert́ıvel ou B é não invert́ıvel.

Exerćıcio 17. Existe uma matriz quadrada A tal que A tem inversa, mas A2 não tem inversa?

Mais conteúdos dessa disciplina