Para determinar os pontos críticos da função \( f(x) = \ln(x) + \frac{1}{x} \), precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x)) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \] Simplificando, temos: \[ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2} \] 2. Encontrar os pontos críticos: Igualamos a derivada a zero: \[ \frac{x - 1}{x^2} = 0 \] Isso ocorre quando \( x - 1 = 0 \), ou seja, \( x = 1 \). 3. Analisar a natureza do ponto crítico: Para determinar se é um máximo ou mínimo, podemos usar a segunda derivada: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x - 1}{x^2}\right) \] Usando a regra do quociente: \[ f''(x) = \frac{(1)(x^2) - (x - 1)(2x)}{(x^2)^2} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} \] Avaliando \( f''(1) \): \[ f''(1) = \frac{-1^2 + 2 \cdot 1}{1^4} = \frac{-1 + 2}{1} = 1 \] Como \( f''(1) > 0 \), isso indica que \( x = 1 \) é um ponto de mínimo. Agora, analisando as alternativas: A) x = 1 é um máximo - Incorreta. B) x = 1 é um mínimo - Correta. C) Não possui pontos críticos - Incorreta. D) x = 0 é um máximo - Incorreta (a função não está definida em \( x = 0 \)). Portanto, a alternativa correta é: B) x = 1 é um mínimo.