Vamos analisar cada uma das alternativas para determinar qual delas é verdadeira sobre um espaço topológico: A) Todo espaço compacto é conexo. - Isso não é verdade. Um espaço compacto pode ser desconexo. Por exemplo, o conjunto {0} ∪ {1} em ℝ é compacto, mas não é conexo. B) Todo espaço conexo é compacto. - Isso também não é verdade. Um espaço conexo pode ser não compacto. Por exemplo, o intervalo (0, 1) em ℝ é conexo, mas não é compacto. C) Um espaço compacto em ℝⁿ é fechado e limitado. - Esta afirmação é verdadeira. De acordo com o Teorema de Heine-Borel, um subconjunto de ℝⁿ é compacto se e somente se é fechado e limitado. D) Um espaço aberto é sempre compacto. - Isso não é verdade. Um espaço aberto em ℝ, como o intervalo (0, 1), não é compacto. Portanto, a alternativa correta é: C) Um espaço compacto em ℝⁿ é fechado e limitado.