Para entender o que é um espaço topológico conexo por caminhos, precisamos considerar a definição desse conceito na topologia. Um espaço topológico é dito ser conexo por caminhos se, para quaisquer dois pontos nesse espaço, existe um caminho contínuo que conecta esses dois pontos. Isso significa que podemos "andar" de um ponto a outro sem "sair" do espaço, utilizando uma trajetória contínua. Analisando as alternativas: A) Um espaço onde qualquer par de pontos pode ser conectado por um caminho contínuo. - Esta é a definição correta de um espaço conexo por caminhos. B) Um espaço que não pode ser dividido em duas partes disjuntas. - Isso se refere à definição de um espaço conexo, mas não necessariamente conexo por caminhos. C) Um espaço que é compacto. - A compacidade é uma propriedade diferente e não está diretamente relacionada à conexão por caminhos. D) Um espaço que é Hausdorff. - A propriedade de ser Hausdorff também é distinta e não implica conexão por caminhos. Portanto, a alternativa correta é: A) Um espaço onde qualquer par de pontos pode ser conectado por um caminho contínuo.