Calcule a integral \( \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx \). a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( \frac{1}{2} \) d) \( \frac{1}{4} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 2x^3 - 3x^2 + 1 \). 1. A antiderivada de \( 2x^3 \) é \( \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 \). 2. A antiderivada de \( -3x^2 \) é \( -\frac{3}{3}x^3 = -x^3 \). 3. A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x \] Agora, vamos calcular \( F(1) \) e \( F(0) \): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^3 + (1) = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} \] \[ F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - (0)^3 + (0) = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é: c) \( \frac{1}{2} \)