Para determinar os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 2. Encontrar os pontos críticos: Igualamos a derivada a zero: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] Fatorando: \[ 3x(x - 2) = 0 \] Portanto, os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 3. Classificar os pontos críticos: Para classificar os pontos críticos, podemos usar a segunda derivada: \[ f''(x) = 6x - 6 \] - Para \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \quad (\text{máximo local}) \] - Para \( x = 2 \): \[ f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad (\text{mínimo local}) \] 4. Encontrar os valores da função nos pontos críticos: - \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \) → ponto \( (0, 4) \) - \( f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \) → ponto \( (2, 0) \) Agora, analisando as alternativas: A) \( (0, 4) - \text{mínimo} \) → incorreta, é um máximo. B) \( (1, 2) - \text{máximo} \) → não é um ponto crítico. C) \( (2, 2) - \text{mínimo} \) → incorreta, o valor é \( (2, 0) \). D) \( (1, 2) - \text{mínimo} \) → não é um ponto crítico. Portanto, a alternativa correta é: A) \( (0, 4) - \text{máximo} \) (embora não esteja listada como correta, é a única que se aproxima, mas a classificação está errada). Os pontos críticos são \( (0, 4) \) - máximo e \( (2, 0) \) - mínimo.