Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza a função \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \), vamos seguir os seguintes passos: 1. Derivar a função: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \cos(x) - \sin(x) \). 2. Encontrar os pontos críticos: Igualamos a derivada a zero: \[ \cos(x) - \sin(x) = 0 \implies \cos(x) = \sin(x) \] Isso ocorre quando \( x = \frac{\pi}{4} \). 3. Verificar o intervalo: O ponto \( x = \frac{\pi}{4} \) está dentro do intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). 4. Avaliar a função nos extremos e no ponto crítico: - \( f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \) - \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \) - \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1 \) 5. Comparar os valores: - \( f(0) = 1 \) - \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \approx 1.41 \) (maior que 1) - \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \) Portanto, o valor de \( x \) que maximiza a função no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \) é \( \frac{\pi}{4} \). A alternativa correta é: A) \( \frac{\pi}{4} \).