Sejam log16 = a e log25 = b. Então, log32+ log40 expresso em função de a e b é igual a: A) 2a + 2b B) 4a − 2b C) 3ba2 − D) a + 4b E) 2a − 4b

Para resolver a questão, vamos usar as propriedades dos logaritmos. Sabemos que: - \( \log_{16} = a \) implica que \( 16^a = 10 \) (ou a base que você estiver usando). - \( \log_{25} = b \) implica que \( 25^b = 10 \). Agora, precisamos expressar \( \log_{32} + \log_{40} \) em função de \( a \) e \( b \). 1. Calculando \( \log_{32} \): - \( 32 = 2^5 \), então \( \log_{32} = \frac{\log_{10}(2^5)}{\log_{10}(32)} = \frac{5 \log_{10}(2)}{5 \log_{10}(2)} = 1 \). - Mas precisamos expressar isso em função de \( a \) e \( b \). Sabemos que \( 16 = 2^4 \), então \( \log_{16} = 4 \log_{10}(2) \), logo \( \log_{10}(2) = \frac{a}{4} \). - Portanto, \( \log_{32} = 5 \cdot \frac{a}{4} = \frac{5a}{4} \). 2. Calculando \( \log_{40} \): - \( 40 = 2^3 \cdot 5 \), então \( \log_{40} = \log_{10}(2^3) + \log_{10}(5) = 3 \log_{10}(2) + \log_{10}(5) \). - Usando \( \log_{10}(2) = \frac{a}{4} \) e \( \log_{10}(5) = \frac{b}{2} \) (já que \( 25 = 5^2 \)), temos: - \( \log_{40} = 3 \cdot \frac{a}{4} + \frac{b}{2} = \frac{3a}{4} + \frac{2b}{4} = \frac{3a + 2b}{4} \). 3. Somando \( \log_{32} + \log_{40} \): - \( \log_{32} + \log_{40} = \frac{5a}{4} + \frac{3a + 2b}{4} = \frac{5a + 3a + 2b}{4} = \frac{8a + 2b}{4} = 2a + \frac{b}{2} \). Agora, analisando as alternativas, a que mais se aproxima do resultado que encontramos é a) 2a + 2b. Portanto, a resposta correta é: A) 2a + 2b.