Grátis: As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas... – Questões Respondidas

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As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
Substituição x = 2sen(w).
Substituição x = 4sec(w).
Substituição x = 4tg(w).
Não é necessário realizar substituição trigonométrica.

Questões para o Sucesso

há 6 meses

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há 6 meses

AOL 5 CALCULO INTEGRAL

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UNINASSAU ARACAJU

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Ed

há 6 meses

Vamos associar cada item às substituições trigonométricas corretas: 1) x²/√(4 – x²): Substituição \( x = 2sen(w) \) (porque \( 4 - x^2 = 4(1 - sen^2(w)) = 4cos^2(w) \)). 2) 1/√(16 + x²): Substituição \( x = 4sec(w) \) (porque \( 16 + x^2 = 16 + 16sec^2(w) = 16(1 + sec^2(w)) \)). 3) (x² - 16)/√(x² + 8x + 16): Substituição \( x = 4tg(w) \) (porque \( x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \)). 4) (x² – 16): Não é necessário realizar substituição trigonométrica (é uma expressão que pode ser simplificada diretamente). Espero que isso ajude! Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!

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UNINASSAU ARACAJU

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Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar que:
1. f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w).
2. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2].
3. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
4. f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
5. ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.

O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as afirmativas a seguir:
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções.
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade.
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos de du e um termo independente de integral.
IV. A função cos(x) é integrável por esse método.
1. II e IV.
2. II e III.
3. I, II e IV.
4. I, III e IV.
5. I, II e III.

As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções.
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais.
II. ( ) A fórmula representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação em x.
III. ( ) Representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função.
IV. ( ) Pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação y.
1. V, V, V, F.
2. V, V, F, V.
3. V, F, V, V.
4. V, V, F, F.
5. F, F, V, F.

Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os itens a seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.

As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para a determinação de uma área de interesse.
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola:
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2.
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2.
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes integrais:
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral.
1. V, F, V, F.
2. F, F, V, V.
3. V, F, F, V.
4. F, V, V, F.
5. F, V, F, F.

A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque:
1. funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método de integração por partes.
2. deve-se derivar as funções antes de integrá-las.
3. as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
4. a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes.
5. ambas são axiomas da matemática.

O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da integração de frações parciais.
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral da soma de vários termos.
1. As asserções I e II são proposições falsas.
2. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
3. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
4. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
5. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.