Para resolver a integral dupla \( I = \int_0^2 \int_0^1 (x^3 + xy) \, dx \, dy \), vamos calcular passo a passo. 1. Calcular a integral interna (em relação a \( x \)): \[ \int_0^1 (x^3 + xy) \, dx = \int_0^1 x^3 \, dx + \int_0^1 xy \, dx \] - Para \( \int_0^1 x^3 \, dx \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \Big|_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \] - Para \( \int_0^1 xy \, dx \): \[ \int xy \, dx = y \int x \, dx = y \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^1 = y \cdot \frac{1^2}{2} - y \cdot \frac{0^2}{2} = \frac{y}{2} \] Portanto, a integral interna resulta em: \[ \int_0^1 (x^3 + xy) \, dx = \frac{1}{4} + \frac{y}{2} \] 2. Agora, calcular a integral externa (em relação a \( y \)): \[ I = \int_0^2 \left( \frac{1}{4} + \frac{y}{2} \right) dy \] - Para \( \int_0^2 \frac{1}{4} \, dy \): \[ \frac{1}{4} y \Big|_0^2 = \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] - Para \( \int_0^2 \frac{y}{2} \, dy \): \[ \frac{1}{2} \int_0^2 y \, dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \] Portanto, a integral externa resulta em: \[ I = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] 3. Agora, somando os resultados: \[ I = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1.5 \] Parece que houve um erro na interpretação dos valores das alternativas, pois o resultado não corresponde a nenhuma das opções apresentadas. Por favor, verifique se os limites de integração ou a função a ser integrada estão corretos. Se precisar de mais ajuda, você terá que criar uma nova pergunta.