Vamos analisar cada afirmação sobre o triângulo com os vértices A = (1,1), B = (2,3) e C = (4,2): I) O triângulo é retângulo. Para verificar se o triângulo é retângulo, podemos calcular os comprimentos dos lados e usar o Teorema de Pitágoras. - Distância AB: \( \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \) - Distância BC: \( \sqrt{(4-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \) - Distância AC: \( \sqrt{(4-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \) Verificando se \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \): \( 5 + 5 = 10 \), então a afirmação I é verdadeira. II) O ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios dos lados. Primeiro, precisamos encontrar os pontos médios dos lados: - Ponto médio de AB: \( M_{AB} = \left( \frac{1+2}{2}, \frac{1+3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \) - Ponto médio de AC: \( M_{AC} = \left( \frac{1+4}{2}, \frac{1+2}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \right) \) Agora, o ponto médio entre \( M_{AB} \) e \( M_{AC} \): \( M = \left( \frac{\frac{3}{2} + \frac{5}{2}}{2}, \frac{2 + \frac{3}{2}}{2} \right) = \left( \frac{8/2}{2}, \frac{7/2}{2} \right) = \left( 2, \frac{7}{4} \right) \) Portanto, a afirmação II é falsa, pois o ponto médio não é \( (9/4, 9/4) \). III) A área do triângulo é 5/2 unidades de área. A área de um triângulo com vértices \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \) é dada por: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Substituindo os valores: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 1(3-2) + 2(2-1) + 4(1-3) \right| = \frac{1}{2} \left| 1 + 2 - 8 \right| = \frac{1}{2} \left| -5 \right| = \frac{5}{2} \] Portanto, a afirmação III é verdadeira. Agora, resumindo: - A afirmação I é verdadeira. - A afirmação II é falsa. - A afirmação III é verdadeira. A alternativa correta que contém todas as afirmações verdadeiras é: d) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.