Para encontrar a primitiva \( F(x) \) da função \( f(x) = x^3 + x \), precisamos integrar \( f(x) \): \[ F(x) = \int (x^3 + x) \, dx \] Calculando a integral: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Agora, precisamos aplicar a condição \( F(1) = 6 \): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{1^2}{2} + C = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + C \] Convertendo \( \frac{1}{2} \) para fração com denominador 4: \[ F(1) = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + C = \frac{3}{4} + C \] Igualando a \( 6 \): \[ \frac{3}{4} + C = 6 \] Subtraindo \( \frac{3}{4} \) de ambos os lados: \[ C = 6 - \frac{3}{4} = \frac{24}{4} - \frac{3}{4} = \frac{21}{4} \] Portanto, a primitiva que satisfaz a condição é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + \frac{21}{4} \] Agora, vamos verificar as alternativas: A) \( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} + 254 \) B) \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 214 \) C) \( \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + 234 \) D) \( \frac{x^3}{4} + \frac{x^2}{2} + 204 \) E) \( \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{1} + 13 \) A única alternativa que se aproxima da forma correta e que pode ser ajustada para \( F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + \frac{21}{4} \) é a alternativa B, mas com um erro no valor constante. Portanto, a alternativa correta que representa a primitiva de \( f(x) \) e que se aproxima da condição dada é: B) \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 214 \).