Para resolver a integral \(\int x^2 \ln x \, dx\) usando a técnica de integração por partes, vamos definir: - \(u = \ln x\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(dv = x^2 \, dx\) \(\Rightarrow v = \frac{x^3}{3}\) Agora, aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int x^2 \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] Simplificando a integral: \[ = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx \] Calculando a integral \(\int x^2 \, dx\): \[ = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C \] Portanto, temos: \[ = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \ln x \ln x \) - Incorreto. B) \( \frac{x^3}{3}(\ln x - \frac{1}{3}) + C \) - Correto, pois é equivalente à forma que encontramos. C) \( \ln x + C \) - Incorreto. D) \( x^2 \ln x + C \) - Incorreto. E) \( \frac{x^3}{3} \ln x \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: B) \( \frac{x^3}{3}(\ln x - \frac{1}{3}) + C \).